← → navegar  |  Scroll  |  F11 pantalla completa
Estadística Básica · Psicología · UPANA

Medidas de
Dispersión

¿Qué tan diferentes son las personas dentro de un mismo grupo?
Hoy aprendemos a medirlo — y a usarlo en nuestra profesión.

📏 Rango 📐 Desviación Media σ Desviación Estándar % Coef. de Variación 📡 Chebyshev 🔔 Regla Empírica
Capítulo 1 · El primer día

Sofía acaba de empezar en
su primera clínica de psicología.

Su supervisora, la Dra. Morales, entra a la oficina con dos carpetas.

"Sofía, estos son los resultados de la Escala de Hamilton de dos grupos de pacientes que van a comenzar terapia grupal. Revísalos antes de planificar las sesiones."
💡
Lo curioso
Ambos grupos tienen exactamente el mismo promedio: 18 puntos. Pero Sofía nota algo más en los números que le genera inquietud… ¿Qué es ese algo más?

→ En la siguiente diapositiva verás los datos de ambos grupos.

Capítulo 1 · Juego — Toma la decisión

Ambos grupos tienen promedio 18

¿En cuál grupo los pacientes son más diferentes entre sí?
Haz clic en el grupo que creas que tiene mayor variedad de puntajes.

Grupo A
Puntajes: 15 · 16 · 17 · 18 · 18 · 19 · 20 · 21
Promedio = 18  ✓
Grupo B
Puntajes: 5 · 9 · 14 · 18 · 19 · 20 · 25 · 34
Promedio = 18  ✓
Lo que acabas de detectar tiene nombre
Dispersión

El promedio te dice el centro del grupo.
La dispersión te dice cuánto varían los datos alrededor de ese centro — qué tan diferentes son las personas entre sí.

🔵
Dispersión baja
Grupo homogéneo. Todos parecidos. Puedes planificar una sola intervención.
🔴
Dispersión alta
Grupo heterogéneo. Grandes diferencias. Cada persona puede necesitar un abordaje distinto.
🎯
¿Para qué sirve?
Diseñar tratamientos, interpretar tests, comparar grupos, tomar decisiones clínicas.
Mismo promedio (x̄ = 18) — distinta dispersión
El mapa del día

5 herramientas para medir la dispersión

01
📏
Rango
¿Cuánto hay entre el mínimo y el máximo?
02
📐
Desviación Media
Promedio de cuánto se aleja cada dato de la media.
03
σ
Desviación Estándar
La medida más precisa y usada en psicología.
04
%
Coef. de Variación
Permite comparar grupos con diferentes escalas.
05
🔔
Regla Empírica
Qué % de datos caen en cada zona de la campana.
🧭
Primero entenderemos el concepto, luego la fórmula, luego lo calculamos juntos. Siempre usando el caso de Sofía como hilo conductor.
Herramienta 1

El Rango

La diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo del grupo. Simple, rápido, y revela cuánto espacio ocupa el grupo en la escala.

Como medir la diferencia de estatura entre el jugador más bajo y el más alto de un equipo de básquet. El rango te dice qué tan grande es esa brecha.
La fórmula
R = Máx − Mín
🧠
En psicometría
Si tu grupo va de 5 a 34 puntos en la Escala de Hamilton, el rango = 29. Antes de planificar la terapia, ya sabes que hay una enorme diferencia entre los pacientes.
Herramienta 1 · Aplicando con los grupos de Sofía

¿Qué tan diferentes son sus grupos?

Elige un grupo para ver su rango en la línea numérica
⚠️ Pero el Rango tiene una trampa
Datos: 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 34 → Rango = 27
¿Grupo disperso? No. 7 de 8 pacientes son idénticos.
El Rango solo mira los extremos — ignora todo lo del medio.
💡 Conclusión
Rango = primera impresión rápida. Útil, pero incompleto.
Para medir mejor la dispersión → Desviación Media
Herramienta 1 · Calculadora

Calcula el Rango

Sofía evaluó 8 estudiantes universitarios
con la Escala de Hamilton durante época de exámenes.
Estos son sus puntajes:

Fórmula
R = Máximo − Mínimo
Interpretación rápida
R = 0–10 → Grupo bastante homogéneo
R = 11–20 → Variedad moderada
R > 20 → Grupo muy heterogéneo
🧪 Ingresa los puntajes (escala 0–56):
Rango =
Visualización (escala 0–56):
Mín: — Máx: —
Camino a la Herramienta 2

Pero el Rango solo ve los extremos…
¿Y los de en medio?

Sofía se pregunta: "El Rango me dice que el grupo ocupa un espacio de 12 puntos, pero no me dice nada de cuánto se aleja cada paciente de la media. ¿Qué pasa con los del centro?"
El concepto de desviación individual

La desviación de un dato es simplemente:

d = x − x̄

Cuánto se aleja ese valor de la media. Puede ser positivo (está por encima) o negativo (está por debajo).

Propiedad clave
Si sumas todas las desviaciones individuales, el resultado siempre es 0. Las positivas y negativas se cancelan. Por eso necesitamos el valor absoluto.
Σ(x − x̄) = 0  siempre
Grupo de Sofía (x̄ = 18)
12
d = −6
14
d = −4
16
d = −2
18
d = 0
18
d = 0
20
d = +2
22
d = +4
24
d = +6
Suma: (−6)+(−4)+(−2)+0+0+2+4+6 = 0 ✓
Herramienta 2

Desviación Media

La suma de desviaciones siempre da 0 — positivos y negativos se cancelan. Solución: usar el valor absoluto de cada desviación.

"¿Cuántos puntos se aleja, en promedio, un paciente típico de la media del grupo?"

DM = 1.5 → los pacientes típicamente están a 1.5 puntos del promedio.
Fórmula
DM = Σ |x − x̄| / n
|x − x̄| = distancia de cada dato a la media · n = cantidad de datos
Distancias al promedio — Grupo A de Sofía
Cada línea = distancia de un paciente a x̄ = 18 · línea verde = DM
En psicología
Si la Escala de Hamilton de tu grupo tiene DM = 1.5, un paciente típico se aleja solo 1.5 puntos del promedio. Grupo homogéneo.
Herramienta 2 · Calculando juntos

Desviación Media — paso a paso

Grupo de Sofía: 8 pacientes con x̄ = 18 puntos en Escala de Hamilton

Paciente Puntaje (x) x − 18 |x − 18|
112−66
214−44
316−22
41800
51800
620+22
722+44
824+66
Total (n=8) Σ = 0 Σ = 24
Clic para revelar fila a fila
Fórmula
DM = Σ|d| / n
DM = 24 / 8
Resultado
DM = 3
En promedio, cada paciente se aleja 3 puntos de la media del grupo (18 puntos).
Herramienta 2 · Comprobación

¿Entendiste la Desviación Media? — Verdad o Mentira

1. "Si todos los pacientes tienen exactamente el mismo puntaje, la DM es 0."
✅ Verdad. Si todos tienen el mismo puntaje, cada desviación es 0, y el promedio de ceros es 0. DM = 0 significa grupo perfectamente homogéneo.
2. "Una DM alta significa que el grupo es homogéneo."
❌ Mentira. Al revés: DM alta → los datos están muy alejados de la media → grupo heterogéneo. DM baja → datos cercanos a la media → grupo homogéneo.
3. "La suma de todas las desviaciones individuales (sin valor absoluto) es siempre 0."
✅ Verdad. Es una propiedad matemática de la media: Σ(x − x̄) = 0 siempre. Por eso necesitamos el valor absoluto |x − x̄| para que no se cancelen.
4. "La DM siempre es un número positivo."
✅ Verdad. Usamos el valor absoluto, por lo que f·|d| ≥ 0 siempre. La DM es un promedio de valores no negativos, así que DM ≥ 0 siempre.
Herramienta 3 — motivación

La DM tiene
un problema…

El valor absoluto |x − x̄| es incómodo matemáticamente. No se puede derivar ni usar en fórmulas estadísticas avanzadas.

Solución elegante: elevar al cuadrado — elimina los negativos sin necesitar valor absoluto. Luego sacamos la raíz para volver a la unidad original. Resultado: la Desviación Estándar (σ).
Fórmula
σ = √ [ Σ(x − x̄)² / (n−1) ]
(n−1) = corrección de Bessel para muestras · en 8 pacientes: n−1 = 7
¿Por qué cuadrar? — compara |d| vs d²
DM
✓ Intuitiva
✓ Para explicar
✗ Avanzado: difícil
σ
✓ Estándar clínico
✓ SPSS, R, Excel
✓ Regla Empírica
🧠
En psicometría siempre usamos σ
El WAIS usa media=100 y σ=15. Chebyshev, Regla Empírica y confiabilidad de tests — todos usan σ.
Herramienta 3 · Calculando juntos

Desviación Estándar — mismos datos, nuevo proceso

El mismo grupo de Sofía (x̄ = 18), ahora elevamos al cuadrado en vez de usar valor absoluto.

Pac.x x − 18 (x−18)²
112−636
214−416
316−24
41800
51800
620+24
722+416
824+636
Total (n=8) Σ = 112
Clic para revelar fila a fila
Cálculo final
σ = √(112 / 7)
σ = √16
σ = 4
Resultado
σ = 4
La "distancia típica" entre un paciente y la media del grupo es de 4 puntos en la Escala de Hamilton.
Dato curioso
Nota que σ (4) es ligeramente mayor que DM (3). Esto es normal: la desviación estándar le da más peso a los valores extremos por el efecto del cuadrado.
Herramienta 4 — el reto

Semanas después… Sofía enfrenta
un nuevo desafío

La Dra. Morales le pide a Sofía que compare dos grupos de investigación de un estudio multicéntrico: uno evaluado con la Escala de Hamilton (0–56 pts) y otro con una escala de estrés propia del hospital (0–200 pts).

"¿Cuál grupo responde de forma más uniforme al tratamiento?"
Clínica Norte
(Escala Hamilton 0–56)
Media: 18 pts
σ = 4 pts
¿Esto es mucho o poco?
(σ=4 en una escala de 56)
Hospital Sur
(Escala estrés 0–200)
Media: 90 pts
σ = 12 pts
¿Esto es más o menos variado?
(σ=12 en una escala de 200)
🤔
El problema
No podemos comparar σ=4 con σ=12 directamente porque las escalas son diferentes. Es como comparar "4 centímetros" con "12 pulgadas" sin convertir. Necesitamos una medida que sea independiente de la escala.
Herramienta 4

Coeficiente de Variación

Expresa la desviación como porcentaje de la media. Así puedes comparar cualquier grupo, sin importar la escala.

Fórmula
CV = (σ / x̄) × 100%
Clínica Norte
CV = (4/18)×100
= 22.2%
Hospital Sur
CV = (12/90)×100
= 13.3%
✅ Hospital Sur es más homogéneo (CV=13.3% vs 22.2%), aunque tenga σ más grande en números absolutos. El CV revela la verdad al controlar la diferencia de escala.
Visualizador de CV — ¿homogéneo o heterogéneo?
Homogéneo Moderado Heterogéneo
Ingresa un CV: %
Referencia de interpretación
CV < 15% → Muy homogéneo
CV 15–30% → Variabilidad moderada
CV > 30% → Muy heterogéneo
Checkpoint · Datos Simples

Sofía ya tiene 4 herramientas — resumen

📏
Rango
12
Máx(24) − Mín(12)
Amplitud del grupo
📐
Desv. Media
3
Promedio de |d|
Distancia promedio
σ
Desv. Estándar
4
√(Σd²/n−1)
Medida estándar
%
Coef. Variación
22.2%
(σ/x̄)×100
Para comparar grupos
📖 El grupo de Sofía (x̄=18) tiene una dispersión baja a moderada. Un CV de 22.2% indica que los pacientes son bastante similares entre sí. La terapia grupal con protocolo unificado es viable.
🔜
Lo que sigue
Hasta ahora trabajamos con datos individuales (cada paciente = un número). Pero en la clínica y en investigación, frecuentemente tenemos cientos de datos agrupados en tablas de frecuencias. Las fórmulas cambian un poco…
Capítulo 2 · 6 meses después

Sofía es contratada en un hospital universitario.

Su nuevo jefe le entrega los resultados de una prueba cognitiva aplicada a 112 pacientes del departamento de terapia ocupacional.

"Necesitamos saber si el grupo responde de forma homogénea al tratamiento. Analiza la dispersión del tiempo que tardan en completar la tarea."
¿Por qué "datos agrupados"?
Con 112 datos individuales, la tabla sería enorme. Se agrupan en intervalos para simplificar el análisis y ver patrones más claramente.
¿Qué cambia en las fórmulas?
En lugar de x individual, usamos xi (punto medio del intervalo) multiplicado por f (frecuencia). Las fórmulas son las mismas, pero cada valor se pondera por su frecuencia.
📊 Tabla de tiempos (segundos) para completar la tarea cognitiva — 112 pacientes
Intervalo (seg) [35–45)[45–55)[55–65)[65–75)[75–85)Total
xi (punto medio) 4050607080—
f (frecuencia) 2022301426 112
Media x̄ = Σf·xi / Σf = 6760 / 112 = 60.36 segundos
Herramienta 2 · Datos Agrupados

Desviación Media — datos del hospital

x̄ = 60.36 seg  |  n = 112 pacientes

Intervaloxif d = xi−60.36 |d| f·|d|
[35–45)4020−20.3620.36407.2
[45–55)5022−10.3610.36227.9
[55–65)6030−0.360.3610.8
[65–75)70149.649.64134.9
[75–85)802619.6419.64510.6
Total 112 1291.4
Clic para revelar fila a fila
Fórmula para datos agrupados
DM = Σ(f · |d|) / Σf
DM = 1291.4 / 112
Resultado
DM = 11.53
En promedio, los pacientes se alejan 11.53 segundos del tiempo promedio de 60.36 seg.
Herramienta 3 · Datos Agrupados

Desviación Estándar — hospital

Mismo proceso: en vez de |d| usamos d²

Intervaloxifdd²f·d²
[35–45)4020−20.36414.58,290
[45–55)5022−10.36107.32,361
[55–65)6030−0.360.133.9
[65–75)70149.6492.91,301
[75–85)802619.64385.710,028
Total21,984
Clic para revelar fila a fila
Cálculo σ agrupada
σ = √(21,984 / 111)
σ = √198.1
σ ≈ 14.07 seg
Coeficiente de Variación
CV = (14.07 / 60.36) × 100
CV ≈ 23%
Interpretación completa del grupo
📏 Rango: 85−35 = 50 seg
📐 DM: 11.53 seg
σ: 14.07 seg
% CV: 23% → variabilidad moderada

Conclusión: El grupo es moderadamente homogéneo. La mayoría responde de forma similar al tratamiento, aunque hay algunos casos atípicos que necesitan seguimiento especial.
Herramienta 5A · Para cualquier distribución

Teorema de Chebyshev

Sofía pregunta: "¿Qué % de mis 112 pacientes tarda entre 32 y 88 segundos?"
No sabe la forma de la distribución.
Chebyshev responde esto para cualquier distribución.
El teorema
Al menos (1 − 1/k²) × 100%
de los datos cae dentro de:
[ x̄ − k·σ  ,  x̄ + k·σ ]
k > 1 · aplica a cualquier forma de distribución
Aplicando con k = 2
(1 − 1/4) × 100 = 75% mínimo
Intervalo: [60.36 − 2(14.07), 60.36 + 2(14.07)]
= [32.22 , 88.50] segundos
🎛️ Mueve k y observa el intervalo
k = 2.0
Al menos:
75.0%
de los datos cae dentro de:
[32.22 , 88.50]
Intervalo visualizado (30–90 seg):
304560 (x̄)7590
📡
¿Y si los datos SÍ son normales?
Chebyshev da el mínimo garantizado. Si la distribución es normal, el % real es mayor. → Siguiente: Regla Empírica
Herramienta 5B · Solo para distribución normal

La Campana de Gauss & la Regla Empírica

Cuando los datos siguen una distribución simétrica en forma de campana (muchos casos cerca de la media, pocos en los extremos), la Regla Empírica te dice exactamente qué porcentaje cae en cada zona.
x̄ = 60.36 seg  |  σ = 14.07 seg  (grupo hospital de Sofía)
🟢 68.3% de los pacientes tarda entre [46.3 , 74.4] segundos  (±1σ)
🔵 95.4% de los pacientes tarda entre [32.2 , 88.5] segundos  (±2σ)
🟣 99.7% de los pacientes tarda entre [18.1 , 102.6] segundos  (±3σ)
Comparación final

Chebyshev vs Regla Empírica — ¿cuándo usar cuál?

📡 Teorema de Chebyshev
✅ Funciona con cualquier distribución
✅ No importa la forma de los datos
⚠️ Solo da el mínimo garantizado
⚠️ Los porcentajes son conservadores

Úsalo cuando: no sabes si tus datos son normales.
k=2 → al menos 75%
k=3 → al menos 89%
🔔 Regla Empírica
✅ Porcentajes exactos
✅ Más útil para análisis e interpretación
⚠️ Solo funciona con distribución normal
⚠️ Debes verificar que los datos sean simétricos

Úsalo cuando: confirmas que los datos son normales.
±1σ → exactamente 68.3%
±2σ → exactamente 95.4%
±3σ → exactamente 99.7%
🧠
En psicología — ejemplo WAIS
El WAIS tiene media=100, σ=15. Por la Regla Empírica: 68.3% de la población tiene IQ entre 85–115. El 99.7% está entre 55–145. Esto es la base de los diagnósticos de superdotación y discapacidad intelectual.
Ejercicio en Clase · Caso Clínico

El psiquiatra y los 16 niños

Un psiquiatra tomó una muestra de 16 niños en tratamiento por desorden de conducta y registró las horas semanales de terapia necesarias para lograr un plan integral.
Tabla de datos
Horas (x) 45678910 Total
Niños (f) 1242412 16
Primero calcula la media
Σf·x = 4(1)+5(2)+6(4)+7(2)+8(4)+9(1)+10(2)
= 4+10+24+14+32+9+20 = 113
x̄ = 113/16 = 7.06 horas
📝 Calcula:
1. La Desviación Media (DM)
2. La Desviación Estándar (σ)
3. El Coeficiente de Variación (CV)
4. Interpreta: ¿El grupo es homogéneo?
Fórmulas de referencia
DM = Σ(f · |xi − x̄|) / Σf
σ = √[ Σ(f · (xi−x̄)²) / (Σf−1) ]
CV = (σ / x̄) × 100%
DM ≈ 1.22 horas  ·  σ ≈ 1.61 horas  ·  CV ≈ 22.8%
El grupo tiene variabilidad moderada. Algunos niños necesitan pocas horas (4) y otros muchas (10), lo que sugiere perfiles clínicos distintos dentro del mismo diagnóstico.
Más allá del aula

¿Para qué sirve esto en tu vida profesional?

🧠
Psicología Clínica
• Interpretar puntajes de tests psicométricos (BDI, WAIS)
• Evaluar si un grupo es homogéneo para terapia grupal
• Reportar resultados de evaluaciones
• Comparar dos grupos de pacientes
🔬
Investigación
• Describir la muestra de un estudio
• Calcular tamaños de efecto
• Determinar si los datos son normales (para elegir entre Chebyshev y Regla Empírica)
• Publicar estadísticos descriptivos (APA requiere media ± σ)
⚖️
Derecho & Peritos
• Evaluar consistencia de testimonios (dispersión baja = testimonios coherentes)
• Peritajes psicológicos: reportar dispersión de resultados
• Estadística forense: análisis de patrones
• Daño moral: cuantificar impacto psicológico
💡 En el día a día: siempre que escuches "en promedio...", pregúntate también "¿y qué tan diferente es cada caso del promedio?" Esa pregunta es la dispersión.
Quiz Final

¿Qué aprendiste hoy? — 4 preguntas

1. Los puntajes de un test son: 8, 12, 15, 20, 25. ¿Cuál es el Rango?
Rango = Máximo − Mínimo = 25 − 8 = 17. Simple y directo.
2. Si en un grupo la Desviación Media = 0, significa que…
DM = 0 significa que ningún dato se aleja de la media → todos son iguales → grupo perfectamente homogéneo.
3. El Coeficiente de Variación sirve principalmente para…
El CV expresa la σ como % de la media, permitiendo comparar grupos aunque tengan escalas completamente distintas.
4. La Regla Empírica (68-95-99.7%) se aplica cuando…
La Regla Empírica es exclusiva de distribuciones normales (simétricas, en forma de campana). Para cualquier distribución usa Chebyshev.
Tu puntaje
0/4
Fin de la clase

Lo que aprendiste hoy

📏
Rango
Amplitud total del grupo
📐
Desviación Media
Promedio de distancias a la media
σ
Desv. Estándar
La medida estándar en psicología
%
Coef. de Variación
Comparar grupos distintos
📡
Chebyshev
% dentro de un rango (cualquier distribución)
🔔
Regla Empírica
68-95-99.7% en distribución normal
El promedio te dice dónde está el centro del grupo.
La dispersión te dice qué tan diferentes son entre sí.
Juntos, son las dos preguntas más importantes de la estadística descriptiva.
Semana 9 → Medidas de Posición